การคำนวณโดยใช้กฏเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ จะพบว่า คำตอบเกิดจากการคูณของจำนวนเต็มบวกชุดหนึ่ง ซึ่งถ้าคำตอบเกิดจากการคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n เช่น
1•2•3•4•5 หรือ 6•5•4•3•2•1
จำนวนเหล่านี้เราสามารถใช้สัญลักษณ์ แฟกทอเรียล เขียนแทนได้
บทนิยาม ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบกแล้ว ผลคูณของจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n ดังนี้
1•2•3• … •n
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n! อ่านว่า แฟกทอเรียลเอ็น หรือ เอ็นแฟกทอเรียล
นั่นคือ
n! = 1•2•3• … •n
หรือ
n! = n•(n-1)•(n-2)• … •2•1
ตัวอย่างเช่น
1! = 1
2! = 2•1 = 2
3! = 3•2•1 = 6
4! = 4•3•2•1 = 24
5! = 5•4•3•2•1 = 120
6! = 6•5•4•3•2•1 = 720
7! = 7•6•5•4•3•2•1 = 5,040
8! = 8•7•6•5•4•3•2•1 = 40,320
9! = 9•8•7•6•5•4•3•2•1 = 362,880
10! = 10•9•8•7•6•5•4•3•2•1 = 3,628,800
หมายเหตุ สัญลักษณ์ n! สามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่ง คือ ∟n
จากตัวอย่างดังกล่าว จะได้ว่า
8! = 8•7! , 7! = 7•6!
6! = 6•5! , 5! = 5•4!
4! = 4•3! , 3! = 3•2! , 2! = 2•1!
นั่นคือ
n! = n•(n-1)•(n-2) … 3•2•1 = n(n-1)! …… (1)
และเพื่อให้คุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n จึงต้องกำหนดค่า 0! เพิ่มเติม โดยการแทน n=1 ใน (1) จะได้
1! = 1(1-1)!
1! = 1 • 0!
เพราะว่า 1! = 1 และ 1 เป็นเอกลักษณ์ของการคูณ จะได้ว่า
1 = 0!
บทนิยาม เมื่อ n=0 แฟกทอเรียล 0 มีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ 0!=1