1. สับเซตและสับเซตแท้
กำหนด A และ B เป็นเซต กล่าวว่า เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A ⊂ B
จากรูป เซต A อยู่ภายในเซต B ทั้งหมด นั่นคือ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B ซึ่งกล่าวได้ว่า A เป็นสับเซตของ B
ตัวอย่างที่ 1
กำหนด A = {a, b, c} ให้หาสับเซตที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเซต A
เฉลย
สับเซตทั้งหมดของเซต A คือ ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}
กำหนด A และ B เป็นเซต กล่าวว่า เซต A เป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ A B
พิจารณาเซต C = {6, 7, 8}, D = {6, 7, 8, 9} และ E = {6, 7, 8}
เนื่องจากสมาชิกทุกตัวของเซต C เป็นสมาชิกของเซต D และ C D กล่าวได้ว่าเซต C เป็นทั้งสับเซตและสับเซตแท้ของเซต D ซึ่งสามารถเขียนแผนภาพแสดงเซต C และเซต D ได้ ดังรูป
กำหนด A และ B เป็นเซต กล่าวว่า A ⊂ B และ B ⊂ A ก็ต่อเมื่อ A = B
*เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง นั่นคือ ถ้า A เป็นเซตใดๆ แล้ว A ⊂ A
กำหนด A และ B เป็นเซต กล่าวว่า เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A ⊄ B
เนื่องจากสมาชิกทุกตัวของเซต C เป็นสมาชิกของเซต E และ C = E ดังนั้น เซต C เป็นสับเซตของเซต E แต่เซต C ไม่เป็นสับเซตแท้ของเซต E ซึ่งสามารถเขียนแผนภาพแสดงเซต C และเซต E ได้ดังรูป
ตัวอย่างที่ 2
กำหนด A เป็นเซตของจำนวนคี่บวกที่น้อยกว่า 11
และ B เป็นเซตของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 11
1.) ให้เขียนเซต A และเซต B แบบแจกแจงสมาชิก
2.) ให้ตรวจสอบว่า A ⊂ B หรือ B ⊂ A หรือไม่ เพราะเหตุใด
เฉลย
1.) A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = {2, 3, 5, 7}
2.) จะเห็นว่า มีสมาชิกของเซต A คือ 1 และ 9 ไม่เป็นสมาชิกของเซต B ดังนั้น A ⊄ B
และจะเห็นว่า มีสมาชิกของเซต B คือ 2 ไม่เป็นสมาชิกของเซต A ดังนั้น B ⊄ A
2. เพาเวอร์เซต
ถ้าเซต A มีสมาชิกเท่ากับ n ตัว แล้วจำนวนสับเซตของ A เท่ากับ 2n เซต
ถ้าเซต A มีสมาชิกเท่ากับ n ตัว แล้วจำนวนสมาชิกของ P(A) เท่ากับ 2n ตัว นั่นคือ n(P(A)) = 2n
ตัวอย่างที่ 3
หาพาวเวอร์เซตของเซต A = {4, 5}
เฉลย
จาก A = {4, 5} จะได้ว่าจำนวนสับเซตทั้งหมดของเซต A เท่ากับ 22 = 4 เซต
คือ ∅, {4}, {5} และ {4, 5}
ดังนั้น P(A) = {∅, {4}, {5}, {4, 5}}
ตัวอย่างที่ 4
กำหนด A = {1, 2, {1}} ให้หาเพาเวอร์เซตของเซต A
เฉลย
P(A) = { ∅, {1}, {2}, , {1, 2}, {1, {1}}, {2, {1}}, {1, 2, {1}}}
ตัวอย่างที่ 5
หาจำนวนสมาชิกของพาวเวอร์เซตของเซต B = {0}
เฉลย
จาก B = {0} จะได้ว่าเซต B มีสมาชิก 1 ตัว คือ 0
ดังนั้น จำนวนสมาชิกของ P(A) เท่ากับ 21 = 2 ตัว
