Home
Education
Classroom
Knowledge
Blog
TV
ธรรมะ
กิจกรรม
โครงการทรูปลูกปัญญา

มุมเรเดียนกับมุมองศา

Posted By sanomaru | 28 ม.ค. 64
170,352 Views

  Favorite

ในบรรดารูปทรงเรขาคณิตทั้งหมด "วงกลม" เป็นรูปทรงที่แตกต่างจากรูปทรงเรขาคณิตอื่น ๆ ไปสักหน่อย เนื่องจากมันไม่มีเหลี่ยมเช่นเดียวกับสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม หรือหลายเหลี่ยม อีกทั้งการคำนวณ คุณสมบัติ หรือส่วนประกอบของวงกลม ก็ยังแตกต่างจากรูปอื่น ๆ ด้วย

 

หน่วยวัดมุม

โดยทั่วไปเราคุ้นเคยกับหน่วยวัดมุมอย่าง "องศา" กันมาอยู่แล้ว หากเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ก็จะมีมุมภายในมุมละ 60 องศา มุมฉากเท่ากับ 90 องศา เส้นตรงมีมุม 180 องศา และวงกลมที่เราทราบกันดีว่ามีมุมภายในเท่ากับ 360 องศา แม้ว่าองศาจะไม่ใช่หน่วยในระบบหน่วยวัดสากล (SI) แต่ก็ได้รับการยอมรับให้ใช้กันอย่างกว้างขวาง

ภาพ : Shutterstock

 

อย่างไรก็ตามนอกจากองศาแล้ว เรายังสามารถบอกขนาดของมุมในรูปแบบของ "เรเดียน (Radian)" ได้ด้วย และปัจจุบันเรเดียนนี้ก็เป็นหน่วยอนุพัทธ์ ในระบบเอสไอ โดยแทนด้วยสัญลักษณ์เฉพาะ "rad"

 

เรเดียนคืออะไร

แม้ว่าเราจะใช้คำว่า "เรเดียน" ตามหลังตัวเลขบอกขนาดของมุม แต่แท้จริงแล้ว เรเดียนไม่ใช่หน่วย มันเป็นรูปแบบหนึ่งของการบอกขนาดมุมเท่านั้น เพียงแต่การเติมเรเดียนด้านหลังก็เพื่อให้เข้าใจตรงกันและใช้งานได้สะดวกขึ้น เรเดียนถูกใช้มานานแล้ว แต่กลับประกาศใช้และมีการให้คำจำกัดความประมาณปี 1870 โดยนักคณิตศาสตร์ โทมัส มูเยอร์ (Thomas Muir) และเจมส์ ทอมป์สัน (James Thompson) ซึ่งในเวลานั้นมีความลังเลระหว่างการใช้ rad, radial และ radian แต่ก็ปรับเปลี่ยนเป็นเรเดียนเมื่อปี 1874 และได้รับการตีพิมพ์เมื่อปี 1890 ในท้ายที่สุด

 

เรเดียนก็คือ อัตราส่วนระหว่าง ส่วนโค้งของวงกลมกับรัศมี หรือก็คือ θ = ส่วนโค้งของวงกลม/รัศมี หน่วยจึงหายไป ดังนั้น เรเดียนจึงไม่มีหน่วย หากสมมุติให้รัศมีวงกลมมีค่า 1 หน่วย ส่วนโค้งของวงกลมที่มีระยะจากรัศมีเส้นที่ 1 มายังรัศมีเส้นที่ 2 มีความยาว 1 หน่วยเท่ากับขนาดของรัศมี θ ก็จะมีค่าเท่ากับ 1 และเมื่อลองแบ่งวงกลมไปเรื่อย ๆ ทีละ θ = 1 จะได้มุมภายในวงกลมทั้งหมดเป็น  θ = 6 และเหลือส่วนโค้งของวงกลมอีกเล็กน้อย

ภาพ : sanomaru

 

เราสามารถหาส่วนโค้งของวงกลมที่เหลืออยู่อีกเล็กน้อยได้จากสูตรเส้นรอบวง = 2πr และนิยาม θ = ส่วนโค้งของวงกลม/รัศมี
ซึ่งจะได้เป็น θ = 2πr/r
ดังนั้น θ = 2π
แต่ π = 3.14 หรือ 22/7 จึงได้เป็น θ = 2π = 2x3.14
ด้วยเหตุนี้ θ หรือมุมภายในวงกลมทั้งหมดจึงเท่ากับ 6.28 ซึ่งทำให้เราทราบว่า ส่วนโค้งของวงกลมที่เหลืออีกเล็กน้อยนั่นก็คือ 0.28

 

การแปลงหน่วยเรเดียนและองศา

หากมุมภายในวงกลมทั้งหมดเป็น θ = 2π เมื่อเทียบกับหน่วยองศา จะเท่ากับ 360 องศา
ดังนั้น π = 180 องศา

 

หากต้องการทราบว่า 1 เรเดียนเป็นกี่องศา เราสามารถหาได้โดยการเทียบบัญญัติไตรยางค์
π เรเดียน เท่ากับ 180 องศา
ดังนั้น 1 เรเดียน เท่ากับ 180/π = 57.3 องศา

 

หากต้องการทราบว่า 1 องศาเป็นกี่เรเดียน เราสามารถหาได้โดยการเทียบบัญญัติไตรยางค์
180 องศา เท่ากับ π หรือ 3.14 เรเดียน
ดังนั้น 1 องศา เท่ากับ 3.14/180 = 0.0174 เรเดียน
หรือ ต้องการทราบว่า 120 องศา เป็นกี่เรเดียน เราสามารถหาได้โดยการเทียบบัญญัติไตรยางค์
180 องศา เท่ากับ π หรือ 3.14 เรเดียน
ดังนั้น 120 องศา เท่ากับ (πx120)/180 = 2π/3 หรือ 2.094 เรเดียน

 

สำหรับค่าของเรเดียนที่องศาต่าง ๆ ที่ใช้บ่อย มีดังนี้

ภาพ : sanomaru
 
ภาพ : sanomaru

 

ส่วนใหญ่ในการศึกษาระดับชั้นสูง ๆ ตั้งแต่มัธยมศึกษาตอนปลายขึ้นไป จึงจะมีเรื่องของมุมเรเดียนเข้ามาเกี่ยวข้อง เนื่องจากเรเดียนเป็นหน่วยวัดมุมที่ใช้ในคณิตศาสตร์ขั้นสูง เช่น ตรีโกณมิติและแคลคูลัส หรือนำไปใช้ในการคำนวณทางฟิสิกส์ ซึ่งการคำนวณโดยใช้เรเดียนนี้จะเกี่ยวข้องกับตัวเลขน้อยกว่า ทำให้ความวุ่นวายหรือยุ่งยากในการคำนวณน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น
สมการตรีโกณมิติในรูปแบบของเรเดียน

 

สมการตรีโกณมิติในรูปแบบขององศา


จะเห็นได้ว่าความวุ่นวายในสมการรูปแบบขององศานั้นมีมากกว่าเรเดียน และเหล่านี้เองที่ทำให้มุมเรเดียนยังคงถูกใช้อยู่อย่างกว้างขวางในวงการนักคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ รวมถึงวิชาชีพที่มีความเกี่ยวข้องกับการคำนวณเฉพาะทาง

 


บทความที่เกี่ยวข้อง
- ทำไมวงกลมมีมุมเท่ากับ 360 องศา
- ส่วนประกอบของวงกลม
 

 

เว็บไซต์ทรูปลูกปัญญาดอทคอมเป็นเพียงผู้ให้บริการพื้นที่เผยแพร่ความรู้เพื่อประโยชน์ของสังคม ข้อความและรูปภาพที่ปรากฏในบทความเป็นการเผยแพร่โดยผู้ใช้งาน หากพบเห็นข้อความและรูปภาพที่ไม่เหมาะสมหรือละเมิดลิขสิทธิ์ กรุณาแจ้งผู้ดูแลระบบเพื่อดำเนินการต่อไป
Tags
  • Posted By
  • sanomaru
  • 17 Followers
  • Follow