กฎการนับเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่ ตอนที่ 3 วิธีเรียงสับเปลี่ยน 1

คำอธิบายเพิ่มเติม
การนับจำนวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยน

     ในส่วนนี้จะกล่าวถึงเฉพาะตามแนวคิดดั้งเดิมในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเท่า นั้น นั่นคือการเรียงสับเปลี่ยนคือลำดับที่มีการจัดอันดับ ของสมาชิกที่ถูกเลือกจากเซตจำกัดโดยไม่มีการเลือกซ้ำ และไม่สำคัญว่าจะต้องใช้สมาชิกทุกตัว ตัวอย่างเช่น สมมติกำหนดให้เซตของตัวอักษร {C, E, G, I, N, R} การเรียงสับเปลี่ยนบางส่วนของเซตนี้เช่น ICE, RING, RICE, NICER, REIGN และ CRINGE เป็นต้น หรือแม้แต่ RNCGI ซึ่งเป็นลำดับที่ไม่จำเป็นต้องมีคำที่มีความหมาย ส่วนคำว่า ENGINE ไม่เป็นการเรียงสับเปลี่ยนเพราะว่ามีสมาชิก E กับ N ซ้ำสองครั้ง

     ถ้าให้ n แทนขนาดของเซต นั่นคือจำนวนสมาชิกที่มีในเซต การเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ที่ "ใช้สมาชิกทั้งหมดทุกตัว" ในครั้งแรกจะมีตัวเลือกทั้งหมด n ตัวสำหรับสมาชิกของลำดับตัวที่หนึ่ง และเมื่อสมาชิกตัวที่หนึ่งถูกเลือกไปแล้ว จะเหลือสมาชิก n − 1 ตัวสำหรับลำดับตัวที่สอง เมื่อสมาชิกถูกเลือกไปแล้วสองตัว การเรียงสับเปลี่ยนจึงสามารถเป็นไปได้
          n × (n − 1) วิธี

     สมาชิกตัวถัดไปของลำดับก็เลือกได้ n − 2 วิธี, n − 3 วิธี ฯลฯ อย่างนี้เรื่อยไปจนเหลือสมาชิกตัวสุดท้ายในเซตเพียงตัวเดียว การเรียงสับเปลี่ยนที่ใช้สมาชิกทั้งหมดจึงเป็นไปได้
          n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1 = n! วิธี

     "!" คือ แฟกทอเรียล ในกรณีที่การเรียงสับเปลี่ยนไม่ได้ใช้สมาชิกทุกตัวในเซต กำหนดให้ r เป็นจำนวนสมาชิกที่ถูกเลือกจากเซต (0 ≤ r ≤ n) จำนวนตัวเลือกในการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ จึงหยุดลงเมื่อได้สมาชิกครบ r ตัว ดังนี้
          n × (n − 1) × (n − 2) × … × (n − r + 1) วิธี

     จำนวนที่หายไปคือ (n − r) × (n − r − 1) × … × 2 × 1 = (n − r)! นั่นคือเราต้องเอาจำนวนนี้ไปหารออกจาก n! จึงจะได้จำนวนวิธีที่เหลือ สรุปได้เป็น    

\mathbf{P}(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

     เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์หลายแบบ เช่น  \mathbf{P}(n,r)\ ;\ _n\mathbf{P}_r\ ;\ \mathbf{P}_r^n\ ;\ (n)_r
     ในกรณีที่ n = r สูตรดังกล่าวจะกลายเป็น

\mathbf{P}(n,r) = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n!

     ด้วยเหตุผลว่า 0! = 1 เนื่องจาก 0! คือผลคูณว่างซึ่งจะเท่ากับ 1 เสมอ

ขอบคุณข้อมูลจาก : วิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ข้อสอบที่เกี่ยวข้อง