สมการกำลังสอง
เกล้าเทพ | 24 มิ.ย. 59
11K views

ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสอง (สมการควอดราติก) คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองคือ

ax^2   bx   c = 0 !

เมื่อ a ≠ 0 (ถ้า a = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการเชิงเส้น) ซึ่ง a, b อาจเรียกว่าเป็นสัมประสิทธิ์ของ x2, x ตามลำดับ ส่วน c คือสัมประสิทธิ์คงตัว บางครั้งเรียกว่าพจน์อิสระหรือพจน์คงตัว ฟังก์ชันของสมการกำลังสองสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งพาราโบลา

 

สูตรกำลังสอง

สมการกำลังสองใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) จะมีรากของสมการ 2 คำตอบเสมอ ซึ่งอาจจะเท่ากันก็ได้ โดยที่รากของสมการสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน สามารถคำนวณได้จากสูตร

x = frac{-b pm sqrt {b^2-4ac}}{2a}

ซึ่งเครื่องหมายบวกและลบเป็นการแทนความหมายของทั้งสองคำตอบ ได้แก่

x_  = frac{-b   sqrt {b^2-4ac}}{2a}; quad x_- = frac{-b - sqrt {b^2-4ac}}{2a}

ดังนั้นค่าของสมการจะเท่ากับฟิวชั่นของสมการ

ดิสคริมิแนนต์

 

จากสูตรด้านบน นิพจน์ที่อยู่ภายใต้เครื่องหมายรากที่สอง

Δ

จะเรียกว่า ดิสคริมิแนนต์ (discriminant) ของสมการกำลังสอง

ดิสคริมิแนนต์เป็นตัวบ่งบอกว่าสมการกำลังสองจะมีคำตอบของสมการเป็นประเภทใดประเภทหนึ่ง ดังต่อไปนี้

  • ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าบวก ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่แตกต่างกัน และเป็นจำนวนจริงทั้งคู่ สำหรับกรณีที่สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และดิสคริมิแนนต์เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ดังนั้นรากของสมการจะเป็นจำนวนตรรกยะ ส่วนในกรณีอื่นจะเป็นจำนวนอตรรกยะ 
  • ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์ ดังนั้นจะมีรากของสมการ 2 ค่าที่เท่ากัน (หรือมีเพียงค่าเดียว) และเป็นจำนวนจริง รากของสมการนี้จะมีค่าเท่ากับ
    x = -frac{b}{2a} !
  • ถ้าดิสคริมิแนนต์เป็นค่าลบ จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง แต่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน 2 จำนวนที่ต่างกัน ซึ่งเป็นสังยุคของกันและกัน นั่นคือ
    x

เมื่อ i คือหน่วยจินตภาพที่นิยามโดย i2 = −1

การแยกตัวประกอบ

พจน์นี้

x - r !

จะเรียกว่าเป็นตัวประกอบของพหุนาม

ax^2   bx   c !

ก็ต่อเมื่อ r เป็นคำตอบของสมการกำลังสอง

ax^2   bx   c = 0 !

ซึ่งจากสูตรกำลังสอง เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามได้เป็น

ax^2   bx   c = a left( x - frac{-b   sqrt {b^2-4ac}}{2a} right) left( x - frac{-b - sqrt {b^2-4ac}}{2a} right)

ในกรณีพิเศษ เมื่อรากของสมการกำลังสองมีเพียงค่าเดียว (คือคำตอบทั้งสองเท่ากัน) พหุนามกำลังสองจะสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น

ax^2 bx c = a left( x   frac{b}{2a} right)^2 !

คะแนนคอนเทนต์ 0.0
ผู้โหวตทั้งหมด 0
Share this
เนื้อหาที่เกี่ยวข้อง

คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์ ม. ปลาย เมทริกซ์ 01
1.2K views
คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์ ม. ปลาย เมทริกซ์ 01
1.6K views
ข้อสอบที่เกี่ยวข้อง

แนวข้อสอบคณิตศาสตร์ ม.4 ชุดที่6
46.1K views
แนวข้อสอบ สอบตรงเข้าคณะเศรษฐศาสตร์ ชุดที่2
8.3K views
แนวข้อสอบ สอบตรงเข้าคณะเศรษฐศาสตร์ ชุดที่1
12.3K views
คณิตศาสตร์ ม.4 ชุดที่6
40.7K views